Rozważania o dachach, cz. 2. Trzeci wymiar Pitagorasa i sinus z cosinusem

Rys. 1.

Twierdzenie Pitagorasa
Jeśli zdecydujemy się obliczyć dach na podstawie projektu, to sugeruję zrobić to dokładnie, rozrysowując bryłę dachu na poszczególne połacie na papierze milimetrowym. Ale zanim zabierzemy się do roboty musimy zrobić trzy rzeczy. Po pierwsze kawę w dużym kubku. Po drugie uruchomić wyobraźnię. Po trzecie w końcu przypomnieć sobie o pewnym Greku.

Zacznę od Greka. Był nim mędrzec o imieniu Pitagoras mieszkający na Samos, zajmujący się m.in. matematyką. Siedział w sumie nic nie robiąc, rysował patykiem na piaski i myślał. Przy okazji zwrócił uwagę na pewne właściwości figur geometrycznych. Człowiek ten, przyczyniając się swoim bezproduktywnym siedzeniem jakieś dwa i pół tysiąca lat temu do obecnej sytuacji finansowej Grecji, zauważył pewną wspólną cechę wszystkich trójkątów. Odkrył, że jeśli na bokach trójkąta prostokątnego (trójkąt prostokątny to taki, który jeden kąt ma prosty) zbudujemy kwadraty, to suma powierzchni dwóch mniejszych kwadratów (zbudowanych na przyprostokątnych) będzie taka jak powierzchnia dużego kwadratu (zbudowanego na przeciwprostokątnej). Zapis matematyczny tego spostrzeżenia wygląda tak: a² + b² = c², a nazwane ono zostało twierdzeniem Pitagorasa. Zależności te pokazuje rys. 1.

Okazuje się, że twierdzenie to jest niezmiernie przydatne w wielu dziedzinach życia, z szeroko rozumianą techniką na czele.

Co pożytecznego wynika więc z twierdzenia Pitagorasa dla osoby chcącej policzyć dach? Bardzo dużo, zwłaszcza gdy dach chce się obliczać wprost z projektu. Przykładem może być obliczenie długości kosza lub grzbietu. A Pitagoras i jego twierdzenie pomaga nam zarówno na płaszczyźnie, jak i w przestrzeni.

Pitagoras i dekarze
Jak policzyć przekątną prostokąta? Z pomocą twierdzenia Pitagorasa. Po co nam to? Na przykład do sprawdzenia, czy połacie dachu dwuspadowego „trzymają” kąty proste, a długości przekątnych nie można sprawdzić i porównać, bo na środku jest mała lukarenka albo komin. Wystarczy wówczas wyznaczyć w narożnikach spore trójkąty prostokątne i dokonać obliczeń. Pomiary muszą się zgadzać z obliczeniami - wtedy mamy kąt prosty. 

Wykonujemy takie obliczenia w prosty sposób przekształcając wzór z twierdzenia Pitagorasa i otrzymując:


Podobnie możemy wyliczyć dowolną przyprostokątną, jeśli w trójkącie prostokątnym znana jest jedna przyprostokątna i przeciwprostokątna. Przekształcenie jest nieco inne i wygląda tak.
Najpierw musimy w naszym wzorze po jednej stronie równania zostawić kwadrat jednej przyprostokątnej:

A teraz już tylko pierwiastek:


I mamy wyliczoną przyprostokątną.

Ale warto wspomnieć w tym miejscu o tak zwanym trójkącie pięknym, który jest trójkątem prostokątnym i przy tym nic nie trzeba w nim obliczać. Otóż trójkąt prostokątny o wymiarach 3, 4 i 5 (np. metrów) poddaje się „bez obliczeń”. Jeśli wzdłuż okapu i wzdłuż szczytu odmierzymy od narożnika połaci odcinki 3 i 4 metry (obojętnie gdzie, który) i jeżeli po połączeniu ich końców wyjdzie nam równo 5 metrów, to ten narożnik dachu ma kąt prosty. To taka ciekawa sztuczka matematyczna przydatna na dachu.

Teraz wróćmy do naszego projektu i zastanówmy się jak wyliczyć z niego długości grzbietu w dachu czterospadowym, kopertowym? Popatrzmy na ten projekt z góry, czyli na rzut dachu. Nie wszystkie wymiary da się tam odczytać wprost. Na rzucie dachu kopertowego wprost – przemnażając jedynie przez skalę – możemy odczytać lub zmierzyć jedynie okapy i kalenice, bo są one równoległe do płaszczyzny rzutowania. Natomiast grzbiety (podobnie jak krokwie, którymi zajmiemy się za chwilę) mają wymiary zmienione. Jak je „odzyskać”?

No to wyobraźmy sobie sześcian. Niech to będzie sześcian o wierzchołkach ABCDEFGH (rys. 2). Wyobraźmy sobie teraz, że przekątna BE jest grzbietem w naszym dachu kopertowym. Wtedy krawędzie AB i BG będą fragmentami okapów, a wierzchołek E to miejsce, gdzie kalenica łączy się z grzbietami, czyli tam leżeć będzie trójnik. Metod „dojścia” do wymiaru BE, czyli do długości grzbietu jest wiele, to kwestia wyobraźni i „ustawienia” w przestrzeni naszego sześcianu. Ja zaproponuję następujący sposób.


Rys. 2.

Przyjmijmy, że sześcian ma wymiary 2 m × 2 m × 2 m. Najpierw wyznaczmy trójkąt prostokątny, w którym jednym z boków będzie obliczana przekątna sześcianu – grzbiet naszego dachu kopertowego. Będzie to trójkąt prostokątny EHB (kąt prosty w wierzchołku H). Znamy w nim jedynie długość boku HE (2 m), która jest wysokością bryły naszego dachu. Nie znamy szukanej długości odcinka BE i nie znamy również długości odcinka BH (przekątna podstawy). Gdybyśmy znali tę ostatnią, wówczas moglibyśmy zastosować twierdzenie Pitagorasa. Niestety z trzech danych znamy tylko jedną, a potrzebujemy dwie. Co możemy zrobić?

Przyjrzyjmy się sześcianowi i pomyślmy. Na przykład w trójkącie prostokątnym ABH (kąt prosty w wierzchołku A) znamy boki przyprostokątne (2 m) i stosując twierdzenie Pitagorasa szybko policzymy długość przeciwprostokątnej, czyli potrzebnego nam odcinka BH. Takie samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla trójkąta prostokątnego BGH. Znając już długość odcinka BH, będziemy mogli obliczyć poszukiwaną długość przekątnej sześcianu BE – czyli grzbietu naszego dachu. Policzmy więc po kolei:

Teraz mamy już obie przyprostokątne w trójkącie BHE. Zatem bez problemu możemy policzyć przekątną sześcianu, czyli długość grzbietu:



Gotowe. Pitagoras dał dekarzowi proste i zarazem potężne narzędzie.

Sinus z cosinusem i tangensem na dodatek
Trygonometria to na pozór najstraszniejsza dziedzina matematyki. Tymczasem w formie podstawowej, potrzebnej czasem w codziennym życiu, rzecz jest prosta, aby nie powiedzieć – banalna.

Chodzi o proporcje, stosunki pewnych wartości nazwane funkcjami trygonometrycznymi.

Sinus, cosinus i tangens to po prostu stosunki długości odpowiednich boków w magicznych trójkątach prostokątnych. Problem jedynie w tym, że trzeba zapamiętać których. Przyjrzyjmy się teraz trójkątowi prostokątnemu na rys. 3. W trójkącie tym zaznaczone są boki a, b, c i kąt . Teraz wymieńmy te „straszne” zależności trygonometryczne.


Rys. 3.


czyli: stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ? do przeciwprostokątnej;


czyli: stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej;


czyli: stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ? do przyprostokątnej leżącej przy kącie ?.

I tyle, po bólu. Korzystanie z tych wzorów polega na podstawieniu dwóch danych i wyliczeniu trzeciej. Matematycy zauważyli, że dla trójkąta prostokątnego o pewnych stałych wartościach kątów (np. 90/60/30) wartości sinus, cosinus, czy tangens (czyli po prostu stosunki odpowiednich boków) są zawsze te same, niezależnie od jego wielkości. Może być to trójkąt narysowany na kartce papieru lub boisku futbolowym. Skoro tak jest, to po kolei wyliczono wszystkie wartości sinusów, cosinusów i tangensów dla każdego kąta – czyli wyznaczono stosunki boków w trójkątach prostokątnych niezależnie od ich wielkości. Wartości te są stabelaryzowane, umieszczone w tablicach matematycznych i powszechnie dostępne, nawet w dość prostych kalkulatorach. Dla dekarza najbardziej przydatny wydaje się cosinus, podczas gdy tymczasem dla cieśli raczej tangens. Dlaczego?

Sinus dla dekarza, tangens dla cieśli
Przyglądając się przekrojowi dachu (na rysunku lub w wyobraźni) zauważamy, że da się w niego wpisać nawet kilka trójkątów prostokątnych (rys. 4), jak chociażby ABC; CED; DFG. Dysponując rzutem dachu z kompletem wymiarów i zaznaczonymi spadkami poszczególnych połaci możemy przy pomocy powyższych wzorów trygonometrycznychwyliczyć np. rzeczywiste długości krokwi. Przyjrzyjmy się ponownie rys. 3. Rzeczywista długość krokwi DG (czyli przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym DFG) w widoku „od góry” jest równa odcinkowi FG (czyli przyprostokątnej w trójkącie prostokątnym DFG).


Rys. 4.

Wzory trygonometryczne składają się z trzech składowych. Mając dwie dane odczytane z rysunku rzutu dachu (kąt pochylenia połaci dachowej ?, a więc i wartość jego cosinusa, sinusa i tangensa z tabel trygonometrycznych oraz długość rzutu krokwi na płaszczyznę poziomą) możemy w prosty sposób policzyć trzecią daną, niewiadomą, szukaną – rzeczywistą długość krokwi.

Jak to działa? Przyglądając się rys. 4 oraz rys. 5 zauważamy, że z projektu, czyli z rzutu dachu odczytamy dwie dane. Pierwsza to kąt pochylenia (w naszym przykładzie rysunkowym to nawet dwa różne kąty), a więc automatycznie znane stają się sinus, cosinus i tangens dla tego kąta – wartości te odczytujemy z tablic. Druga to przyprostokątna przy kącie , czyli długość krokwi w rzucie poziomym. Teraz wśród wzorów wyszukajmy ten, który zawiera trzy interesujące nas wielkości: kąt (a zatem i jego funkcje trygonometryczne), rzut krokwi (czyli przyprostokątną przy kącie) i długość rzeczywistą krokwi (czyli przeciwprostokątną). Który to wzór? Ten z cosinusem.

Teraz policzmy „coś konkretnego”. Na rys. 6 mamy schemat przykładowego rzutu dachu. Odczytujemy, że połacie mają pochylenie 30°, a poziomy rzut krokwi to 6 metrów.


Rys. 5.


Rys. 6.

Wzór na cos:


czyli:


czyli:


Z tego po przekształceniu:

Po odczytaniu z tablic trygonometrycznych:


I w efekcie:


Reasumując tę część rozważań pamiętajmy, że chcąc z „rzutu dachu” otrzymać rzeczywistą długość krokwi, należy wymiar poziomego rzutu długości krokwi podzielić przez cosinus kąta pochylenia połaci dachu.

A co z grzbietem?
Z grzbietem można uporać się na kilka sposobów. Kilkanaście zdań wcześniej analizowaliśmy przekątną sześcianu i poszukiwaliśmy rozwiązania przy pomocy twierdzenia Pitagorasa. W ten sam sposób możemy uporać się z przekątną każdego prostopadłościanu. A jak to się ma do tej części projektu architektonicznego, z którego korzysta dekarz, czyli do rzutu dachu?

Po prostu trzeba sobie ten prostopadłościan (lub sześcian) wyobrazić i zastanowić się, jakie dane są znane oraz jakie można szybko i łatwo uzyskać.

Przyjrzyjmy się teraz sześcianowi na rys. 7. To ten sam prostopadłościan co na rys. 2, ale tym razem uwagę poświęcimy innym trójkątom. Punkty i odcinki bazowe będą takie same jak poprzednio. Zatem odcinek BE to grzbiet, wierzchołek E to miejsce połączenia grzbietu (odcinek BE) z kalenicą. Wierzchołek B to narożnik rynny, a odcinki AB i BG to fragmenty okapów przykładowego dachu kopertowego z rys. 8. Nadmienić trzeba, że odcinki AB i BG są szczególnymi fragmentami okapów, o czym za chwilę.


Rys. 7.


Rys. 8.

Odcinek AE jest krokwią, odcinek AH to rzut krokwi na płaszczyznę poziomą, odcinek HE to wysokość bryły dachu. Kąt zawarty między odcinkiem AE i AH będzie kątem pochylenia dachu. Poszukiwania długości grzbietu są banalnie proste. Z projektu (z rzutu dachu na płaszczyznę poziomą) odczytujemy rzut długości krokwi, czyli odcinek AH. Odczytujemy też kąt pochylenia połaci, np. 45 stopni. Korzystając z zależności w trójkącie prostokątnym AHE (kąt prosty w wierzchołku H) wiemy, że rzeczywistą długość krokwi oblicza się dzieląc jej długość zrzutowaną (odcinek AH) przez cosinus kąta pochylenia połaci (45 stopni). Wzór wygląda tak:


I mamy rzeczywistą długość krokwi.

Teraz grzbiet. Grzbiet jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym ABE (kąt prosty w wierzchołku A). Co w nim znamy, a co szukamy? Szukamy przeciwprostokątnej BE, a mamy… przecież obie przyprostokątne. AE (długość krokwi) obliczyliśmy przed chwilą, a AB możemy odczytać z projektu lub zmierzyć z projektu jeśli wymiaru nie ma naniesionego. Odcinek AB jest fragmentem okapu „wystającym” poza krokiew (poza linię) poprowadzoną z punktu E, z trójnika gąsiorów. Teraz wystarczy podstawić dane do wzoru z twierdzenia Pitagorasa.


Stąd już jedno proste przekształcenie i mamy długość grzbietu, czyli odcinek BE.


Na koniec
Pozostało mi wyjaśnić, dlaczego odcinki AB i BG są szczególnymi fragmentami okapów, o czym pisałem kilka zdań wyżej. Otóż to są wymiary, o których przy zdejmowaniu wymiarów z dachu warto pamiętać jako „tych dodatkowych”, ułatwiających weryfikację projektu albo jego inwentaryzowanie. To te odcinki na przykład w trapezach „wystają poza kalenicę”.

Zostało jeszcze wyjaśnienie powiązania tangensa z ciesielką. Spotykamy się z pytaniami sprowadzającymi się do kwestii mniej więcej takiej: ile trzeba się podnieść na metrze, aby uzyskać konkretny spadek dachu? Lub inaczej: ile musi wynosić wymiar pionowy, jeśli wymiar poziomy wynosi metr? A to przecież tangens kąta pochylenia dachu. Przyprostokątna naprzeciwko kąta (ile się podnieść) i przyprostokątna przy kącie (na jednym metrze). Tabela z przeliczeniami zależności matematycznych przydatnych dekarzom i cieślom znajdzie się na końcu opracowania.

Ale to nie koniec matematycznych rozważań o dachu. W kolejnym odcinku zajmiemy się nieco rzadszymi przypadkami.

CDN.

mgr inż. Przemysław Spych
Doradca techniczny Monier Braas



CZYTAJ WIĘCEJ

Rozważania o dachach, cz. 1. Płaszczyzny i figury
Rozważania o dachach, cz. 3. Obrót kontrolowany

---